Conseils utiles

Factorisation des nombres en facteurs premiers, méthodes et exemples de décomposition

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Il existe un type de tâche dans lequel le contraire est indiqué par un nombre déjà présenté sous une forme brisée. Dans ce cas, un morceau de papier est pris et toutes les composantes du nombre sont écrites de droite à gauche dans l'ordre, du plus petit au plus grand. Un exemple:

Le nombre est divisé en 4 unités, 8 dizaines, 7 centaines et 4 mille. Pour le récupérer, vous devez dans l'ordre, de droite à gauche, d'unités à des milliers, écrire le numéro:
4784.

  • des dizaines de centaines de milliers en 2018
  • Décomposez le nombre 1234 en termes

Qu'est-ce que cela signifie de décomposer un nombre en facteurs premiers?

Premièrement, nous allons déterminer quels sont les facteurs premiers.

Il est clair que, puisque le mot «facteurs» est présent dans cette expression, un produit de quelques nombres a alors lieu, et le mot qualificatif «premier» signifie que chaque facteur est un nombre premier. Par exemple, dans un produit de la forme 2 · 7 · 7 · 23, il existe quatre facteurs premiers: 2, 7, 7 et 23.

Mais que veut dire décomposer un nombre en facteurs premiers?

Cela signifie que ce nombre doit être représenté comme un produit de facteurs premiers et que la valeur de ce produit doit être égale au nombre d'origine. À titre d’exemple, considérons le produit de trois nombres premiers 2, 3 et 5, c’est-à-dire 30; la décomposition de 30 en facteurs premiers prend donc la forme 2.3 · 5. Habituellement, la décomposition d’un nombre en facteurs premiers s’écrit sous forme d’égalité. Dans notre exemple, elle ressemblera à ceci: 30 = 2 · 3,5. Nous soulignons séparément que des facteurs simples dans la décomposition peuvent être répétés. Ceci est clairement illustré par l'exemple suivant: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Mais une représentation de la forme 45 = 3.15 n'est pas une factorisation, car le nombre 15 est composite.

La question suivante se pose: "Quels nombres peuvent être factorisés en général"?

A la recherche d'une réponse, nous donnons le raisonnement suivant. Les nombres premiers, par définition, font partie des entiers positifs supérieurs à un. Compte tenu de ce fait et des règles de multiplication des nombres entiers, on peut affirmer que le produit de plusieurs facteurs premiers est un nombre entier positif supérieur à un. Par conséquent, la factorisation n'a lieu que pour les entiers positifs supérieurs à 1.

Mais tous les entiers dépassant un sont-ils décomposés en facteurs premiers?

Il est clair qu'il n'est pas possible de factoriser en nombres entiers premiers. Cela s'explique par le fait que les nombres premiers n'ont que deux diviseurs positifs - un et eux-mêmes, ils ne peuvent donc pas être représentés comme le produit de deux ou plus de deux nombres premiers. Si l'entier z pouvait être représenté comme le produit des nombres premiers a et b, le concept de divisibilité conduirait à la conclusion que z est divisible par a et b, ce qui est impossible du fait de la simplicité du nombre z. Cependant, on pense que tout nombre premier est en soi une décomposition.

Qu'en est-il des nombres composés? Les nombres de composés sont-ils décomposés en facteurs premiers et tous les nombres de composés sont-ils soumis à une telle décomposition? Le théorème de base de l'arithmétique donne une réponse affirmative à certaines de ces questions. Le théorème de base de l'arithmétique stipule que tout entier a supérieur à 1 peut être décomposé en le produit des facteurs premiers p1, p2, ..., pn , la décomposition a la forme a = p1P2· ... · pn , et cette décomposition est unique, si vous ne tenez pas compte de la séquence des facteurs

Factorisation principale canonique

Dans l'expansion du nombre, les facteurs premiers peuvent être répétés. Les facteurs premiers répétés peuvent être écrits de manière plus compacte en utilisant la puissance d'un nombre. Supposons que dans l'expansion d'un, un facteur premier p1 rencontre s1 fois, facteur premier p2 - s2 fois, et ainsi de suite, pn - sn fois. Alors la factorisation première de a peut être écrite de la manière suivante: a = p1 s1 P2 s2 · ... · pn sn . Cette forme d’enregistrement est la soi-disant factorisation première canonique.

Donnons un exemple de la factorisation canonique d’un nombre. Faites-nous savoir la décomposition 609 840 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11, sa forme canonique d'écriture a la forme 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2.

La factorisation canonique du nombre vous permet de trouver tous les diviseurs du nombre et le nombre de diviseurs du nombre.

Algorithme de factorisation premier

Pour réussir à décomposer un nombre en facteurs premiers, vous devez avoir une très bonne connaissance de l’information contenue dans les nombres principal et composé de l’article.

L'essence du processus de décomposition d'un entier positif supérieur à l'unité ressort clairement de la preuve du théorème principal de l'arithmétique. La signification est de trouver séquentiellement les plus petits diviseurs premiers p1, p2, ..., pn nombres a, a1, un2, ..., unn-1 , ce qui nous permet d’obtenir la série d’égalités a = p1Un1 où un1= a: p1 , a = p1Un1= p1P2Un2 où un2= un1: p2 , ..., a = p1P2· ... · pnUnn où unn= unn-1: pn . Quand est-ce qu'unn= 1, alors l'égalité a = p1P2· ... · pn nous donnera la factorisation désirée de a. Il convient de noter ici que p1≤p2≤p3≤ ... ≤pn .

Il reste à trouver les plus petits diviseurs premiers à chaque étape et nous aurons un algorithme pour décomposer le nombre en facteurs premiers. Trouver des diviseurs premiers nous aidera avec un tableau de nombres premiers. Nous montrons comment l’utiliser pour obtenir le plus petit diviseur premier de z.

Nous prenons séquentiellement les nombres premiers de la table des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.) et divisons par eux le nombre z donné. Le premier nombre premier en lequel z est complètement divisé sera son plus petit diviseur. Si z est premier, son diviseur inférieur est z lui-même. Il convient de rappeler ici que si z n’est pas un nombre premier, son plus petit diviseur premier ne dépasse pas un nombre, où est la racine carrée arithmétique de z. Ainsi, s'il n'y a pas un seul diviseur de z parmi les nombres premiers ne dépassant pas, alors nous pouvons conclure que z est un nombre premier (pour plus de détails à ce sujet, voir la section théorie sous l'en-tête, ce nombre est premier ou composé).

A titre d'exemple, nous montrons comment trouver le plus petit diviseur premier de 87. Prenez le numéro 2. Divisez 87 par 2, nous obtenons 87: 2 = 43 (reste 1) (si nécessaire, voir l'article sur la règle et des exemples de division d'entiers avec le reste). Autrement dit, en divisant 87 par 2, le reste est 1, donc 2 n'est pas un diviseur de 87. Nous prenons le nombre premier suivant de la table des nombres premiers, il s’agit du nombre 3. Diviser 87 par 3, nous obtenons 87: 3 = 29. Ainsi, 87 est complètement divisible par 3. Par conséquent, 3 est le plus petit diviseur premier de 87.

Notez que dans le cas général, pour les facteurs premiers de a, nous avons besoin d’un tableau de nombres premiers allant jusqu’à un nombre inférieur à. Nous devrons nous tourner vers cette table à chaque étape, nous devons donc l'avoir sous la main. Par exemple, pour décomposer en facteurs premiers de 95, nous avons simplement besoin d’un tableau de nombres premiers allant jusqu’à 10 (puisque 10 est supérieur à). Et pour l’extension du nombre 846 653, il faudra un tableau de nombres premiers allant jusqu’à 1 000 (puisqu’il ya plus de 1 000).

Maintenant nous avons assez d'informations pour enregistrer algorithme de factorisation premier. L'algorithme de décomposition du nombre a est le suivant:

  • En triant séquentiellement les nombres de la table des premiers, nous trouvons le plus petit diviseur premier p1 chiffres a, après quoi on calcule un1= a: p1 . Si un1= 1, alors le nombre a est premier, et c’est lui-même son expansion en facteurs premiers. Si un1 est égal à 1, alors nous avons a = p1Un1 et passer à l'étape suivante.
  • Trouver le plus petit diviseur premier p2 numérote un1 , pour ce faire, nous trions les nombres du tableau principal, en commençant par p1 , après quoi on calcule un2= un1: p2 . Si un2= 1, alors la factorisation souhaitée de a est a = p1P2 . Si un2 est égal à 1, alors nous avons a = p1P2Un2 et passer à l'étape suivante.
  • Itérer sur les nombres d'une table principale commençant par p2 , trouvez le plus petit diviseur premier p3 numérote un2 , après quoi on calcule un3= un2: p3 . Si un3= 1, alors la factorisation souhaitée de a est a = p1P2P3 . Si un3 est égal à 1, alors nous avons a = p1P2P3Un3 et passer à l'étape suivante.
  • Trouver le plus petit diviseur premier pn numérote unn-1 trier les nombres premiers commençant par pn-1 ainsi qu'unn= unn-1: pn et unn il s'avère être 1. Cette étape est la dernière étape de l'algorithme, nous obtenons ici la factorisation souhaitée du nombre a: a = p1P2· ... · pn .

Tous les résultats obtenus à chaque étape de l’algorithme de décomposition du nombre en facteurs premiers sont présentés par souci de clarté sous la forme du tableau suivant, dans lequel les nombres a, a sont écrits séquentiellement dans la colonne à gauche de la barre verticale.1, un2, ..., unn , et à droite de la ligne se trouvent les diviseurs premiers moins correspondants p1, p2, ..., pn .

Il ne reste plus qu’à examiner quelques exemples de l’application de l’algorithme obtenu pour la décomposition de nombres en facteurs premiers.

Exemples de facteurs premiers

Maintenant, nous allons analyser en détail exemples de décomposition en facteurs premiers. Dans l'extension, nous appliquerons l'algorithme du paragraphe précédent. Commençons par des cas simples, et nous les compliquerons progressivement afin de rencontrer toutes les nuances possibles qui apparaissent lorsque les nombres sont décomposés en facteurs premiers.

Comment factoriser les nombres?

Tout nombre composé peut être représenté comme le produit de ses diviseurs principaux:

Les parties de droite des égalités obtenues sont appelées décomposition en facteurs numéros 15 et 28.

Décomposer un nombre composé donné en facteurs premiers, c'est représenter ce nombre comme le produit de ses diviseurs premiers.

La décomposition de ce nombre en facteurs premiers est la suivante:

  1. Tout d'abord, vous devez sélectionner le plus petit nombre premier de la table des nombres par lequel ce nombre composé est divisible sans reste et effectuer la division.
  2. Ensuite, vous devez à nouveau choisir le plus petit nombre premier par lequel le quotient déjà reçu sera divisé sans reste.
  3. La deuxième action est répétée jusqu'à ce qu'une unité soit obtenue dans le quotient.

Par exemple, nous décomposons le nombre 940 en facteurs premiers, le plus petit nombre premier divisé par 940. Ce nombre est 2:

Maintenant, nous sélectionnons le plus petit nombre premier divisé par 470. Ce nombre est encore 2:

Le plus petit nombre premier que 235 divise est 5:

Le nombre 47 est un nombre premier, ce qui signifie que le plus petit nombre premier par lequel 47 est divisé sera le nombre lui-même:

On obtient donc le nombre 940, décomposé en facteurs premiers:

940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

Si, en décomposant un nombre en facteurs premiers, nous obtenons plusieurs facteurs identiques, nous pouvons les écrire par puissance:

940 = 2 2 · 5 · 47

La factorisation en premier est plus commodément écrite comme suit: notez tout d'abord ce nombre composé et tracez une barre verticale à sa droite:

À droite de la ligne, nous écrivons le plus petit diviseur simple dans lequel ce nombre composé est divisé:

Nous effectuons la division et le quotient résultant de la division est inscrit sous le dividende:

Nous traitons le quotient de la même manière qu’avec le nombre composé donné, c’est-à-dire que nous sélectionnons le plus petit nombre premier sous lequel il est divisible sans reste et effectuons la division. Et on répète jusqu’à obtenir une unité dans le quotient:

Veuillez noter qu'il est parfois difficile de décomposer un nombre en facteurs premiers, car lors de la décomposition, nous pouvons rencontrer un nombre élevé, difficile à déterminer immédiatement s'il est simple ou composé. Et s'il est composé, il n'est pas toujours facile de trouver son plus petit diviseur simple.

Par exemple, essayons de factoriser 5106 en facteurs premiers:

Ayant atteint le 851 privé, il est difficile de déterminer immédiatement son plus petit diviseur. Nous nous tournons vers la table des nombres premiers. S'il y a un chiffre qui nous met en difficulté, alors il est divisé uniquement par lui-même et par un. Le nombre 851 n'est pas dans la table principale, ce qui signifie qu'il s'agit d'un composite. Il ne reste plus qu'à le diviser en nombres premiers par la méthode de la recherche séquentielle: 3, 7, 11, 13 ,. et ainsi de suite jusqu'à ce que nous trouvions un premier diviseur approprié. En utilisant la méthode d'énumération, nous trouvons que 851 est divisé par le nombre 23:

On obtient donc le nombre 5106 décomposé en facteurs premiers:

5106 = 2 · 3 · 23 · 37

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