Conseils utiles

Comment trouver la résistance des circuits en série et en parallèle

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Résistance en série

Nous prenons trois résistances constantes R1, R2 et R3 et les connectons au circuit de sorte que la fin de la première résistance R1 soit connectée au début de la deuxième résistance R 2, de la fin de la seconde au début de la troisième R 3 et au début de la première résistance et à la fin de la troisième résistance, nous apportons les conducteurs de la source de courant (Fig. 1).

Cette connexion de résistances est appelée série. Il est évident que le courant dans un tel circuit sera le même en tous ses points.


Fig 1 Résistance en série

Comment déterminer la résistance totale d'un circuit si on connaît déjà toutes les résistances incluses en série? En utilisant la position où la tension U aux bornes de la source de courant est égale à la somme des baisses de tension dans les sections du circuit, on peut écrire:

U1 = IR1 U2 = IR2 et U3 = IR3

IR = IR1 + IR2 + IR3

En mettant les parenthèses à la droite de l'égalité I, on obtient IR = I (R1 + R2 + R3).

Ayant maintenant divisé les deux côtés de l'égalité par I, nous avons enfin R = R1 + R2 + R3

Nous sommes donc parvenus à la conclusion qu'avec une connexion en série de résistances, la résistance totale de l'ensemble du circuit est égale à la somme des résistances de sections individuelles.

Nous vérifions cette conclusion avec l'exemple suivant. Prenez trois résistances constantes dont les valeurs sont connues (par exemple, R1 = 10 Ohm, R 2 = 20 Ohm et R 3 = 50 Ohm). Nous les connectons en série (Fig. 2) et les connectons à une source de courant dont la force électromotrice est de 60 V (négligez la résistance interne de la source de courant).


Fig. 2. Exemple de connexion en série de trois résistances

Nous calculons quelles indications devraient être données par les dispositifs allumés, comme indiqué sur le schéma, si vous fermez le circuit. Nous déterminons la résistance externe du circuit: R = 10 + 20 + 50 = 80 Ohms.

Trouvez le courant dans le circuit selon la loi d'Ohm: 60/80 = 0, 75 A

Connaissant le courant dans le circuit et la résistance de ses sections, on détermine la chute de tension pour chaque section du circuit U 1 = 0,75 x 10 = 7,5 V, U 2 = 0,75 x 20 = 15 V, U3 = 0,75 x 50 = 37,5 V.

Connaissant la chute de tension dans les sections, nous déterminons la chute de tension totale dans le circuit externe, c'est-à-dire que la tension aux bornes de la source de courant est U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Nous avons ainsi obtenu que U = 60 V, c’est-à-dire l’égalité inexistante de la FEM, de la source de courant et de sa tension. Cela s'explique par le fait que nous avons négligé la résistance interne de la source de courant.

Maintenant que l’interrupteur à clé K est fermé, nous pouvons vérifier à partir des instruments que nos calculs sont approximativement corrects.

Connexion parallèle des résistances

Nous prenons deux résistances constantes R1 et R2 et les connectons de manière à ce que le début de ces résistances soit inclus dans un point commun a et les extrémités dans un autre point commun b. Après avoir connecté les points a et b à la source de courant, nous obtenons un circuit électrique fermé. Cette connexion de résistances s'appelle une connexion parallèle.


Fig 3. Connexion en parallèle de résistances

Suivons le flux de courant dans ce circuit. Du pôle positif de la source de courant au conducteur de connexion, le courant atteindra le point a. Au point a, il se ramifie, car ici la chaîne elle-même se divise en deux branches distinctes: la première avec la résistance R1 et la seconde avec la résistance R2. Notons les courants dans ces branches par respectivement I1 et I 2. Chacun de ces courants suivra sa branche jusqu'au point b. À ce stade, les courants se confondent en un courant commun qui atteint le pôle négatif de la source de courant.

Ainsi, avec une connexion en parallèle de résistances, une chaîne ramifiée est obtenue. Voyons quel sera le rapport entre les courants dans notre circuit.

Nous activons l'ampèremètre situé entre le pôle positif de la source de courant (+), le point a et notons ses lectures. Ensuite, après avoir inclus l’ampèremètre (indiqué par une ligne pointillée sur la figure) dans le fil reliant le point b au pôle négatif de la source de courant (-), nous notons que l’appareil affichera la même intensité de courant.

Cela signifie que l'intensité du courant dans le circuit avant sa dérivation (vers le point a) est égale à l'intensité du courant après la dérivation du circuit (après le point b).

Nous allons maintenant inclure un ampèremètre alternativement dans chaque branche du circuit, en mémorisant les lectures de l'appareil. Laissez l’ampèremètre indiquer l’intensité de courant I1 dans la première branche et I 2 dans la deuxième branche.Ajoutant ces deux lectures d'ampèremètre, nous obtenons le courant total égal en valeur au courant I avant le branchement (au point a).

Par conséquent, la force du courant qui passe au point de branchement est égale à la somme des courants qui partent de ce point. I = I1 + I2 En exprimant cela avec la formule, nous obtenons

Ce rapport, qui revêt une grande importance pratique, est appelé loi de la chaîne ramifiée.

Voyons maintenant quelle sera la relation entre les courants dans les branches.

Allumez un voltmètre entre les points a et b et voyez ce qu’il nous montre. Tout d’abord, le voltmètre indiquera la tension de la source de courant, car elle est connectée, comme on peut le voir sur la Fig. 3, directement aux bornes de la source actuelle. Deuxièmement, le voltmètre indiquera les chutes de tension U1 et U2 aux résistances R 1 et R2, car il est connecté au début et à la fin de chaque résistance.

Par conséquent, avec une connexion en parallèle des résistances, la tension aux bornes de la source de courant est égale à la chute de tension à chaque résistance.

Cela nous donne le droit d'écrire que U = U1 = U2,

où U est la tension aux bornes de la source de courant, U 1 est la chute de tension à la résistance R 1, U2 est la chute de tension à la résistance R2. Rappelons que la chute de tension dans une section de circuit est numériquement égale au produit du courant traversant cette section et de la résistance de la section U = IR.

Par conséquent, pour chaque branche, vous pouvez écrire: U1 = I1R1 et U2 = I2R2, mais puisque U 1 = U2, alors I1R1 = I2R2.

En appliquant la règle de proportion à cette expression, on obtient I1 / I2 = U2 / U1, c’est-à-dire que le courant dans la première branche sera égal à plusieurs fois (ou moins) le courant dans la seconde branche, combien de fois la résistance de la première branche est inférieure (ou supérieure) à la résistance de la seconde branches.

Nous sommes donc parvenus à la conclusion importante que, dans le cas de la connexion parallèle des résistances, le courant total du circuit se divise en courants inversement proportionnels aux valeurs de la résistance des branches parallèles. En d'autres termes, plus la résistance de la branche est grande, plus le courant qui la traverse est faible et, inversement, plus la résistance de la branche est faible, plus le courant qui traverse cette branche est important.

Nous vérifierons l'exactitude de cette dépendance dans l'exemple suivant. Nous assemblons un circuit constitué de deux résistances R1 et R2 connectées en parallèle et connectées à une source de courant. Soit R1 = 10 Ohms, R2 = 20 Ohms et U = 3 V.

Nous calculons d’abord ce que l’ampèremètre inclus dans chaque branche nous indiquera:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

I 2 = U / R 2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Courant total dans le circuit I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 mA

Notre calcul confirme que lorsque les résistances sont connectées en parallèle, le courant dans le circuit est inversement proportionnel aux résistances.

En effet, R1 == 10 Ohms correspond à la moitié de R 2 = 20 Ohms, alors que I1 = 300 mA correspond à deux fois plus que I2 = 150 mA. Le courant total dans le circuit I = 450 mA est divisé en deux parties de sorte que la majeure partie (I1 = 300 mA) passe par une résistance plus faible (R1 = 10 Ohms) et une partie plus petite (R2 = 150 mA) par une résistance plus grande (R 2 = 20 ohms).

Cette ramification de courant dans les branches parallèles est similaire à l'écoulement de fluide dans les tuyaux. Imaginez un tuyau A qui, à un moment donné, se divise en deux tuyaux B et C de diamètres différents. Le diamètre de la conduite B étant supérieur à celui des conduites B, une plus grande quantité d'eau traversera la conduite B en même temps que la conduite B, qui résiste mieux au débit d'eau.

Fig. 4 Moins d’eau passera par un tuyau mince dans le même laps de temps que par un tuyau épais

Nous considérons maintenant à quoi la résistance totale du circuit externe, constituée de deux résistances connectées en parallèle, sera égale à.

Par cette résistance commune du circuit externe, il est nécessaire de comprendre une telle résistance, qui pourrait être remplacée à une tension donnée du circuit, les deux résistances connectées en parallèle, sans modifier le courant avant la dérivation. Cette résistance est appelée résistance équivalente.

Revenons au circuit illustré à la fig. 3 et voyez à quoi la résistance équivalente de deux résistances connectées en parallèle sera égale à. En appliquant la loi d'Ohm à ce circuit, nous pouvons écrire: I = U / R, où I est le courant dans le circuit externe (jusqu'au point de dérivation), U est la tension du circuit externe, R est la résistance du circuit externe, c'est-à-dire une résistance équivalente.

De même, pour chaque branche, I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, où I1 et I 2 sont les courants dans les branches, U 1 et U2 sont la tension sur les branches, R1 et R2 sont la résistance des branches.

Selon la loi d'une chaîne ramifiée: I = I1 + I2

En substituant les valeurs actuelles, on obtient U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Comme avec une connexion parallèle U = U1 = U2, nous pouvons écrire U / R = U / R1 + U / R2

En plaçant U à droite de l'égalité entre parenthèses, nous obtenons U / R = U (1 / R1 + 1 / R2)

Ayant maintenant divisé les deux côtés de l’égalité par U, nous avons enfin 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2

En nous rappelant que l'inverse de la résistance s'appelle la conductivité, on peut dire que dans la formule résultante 1 / R est la conductivité du circuit externe, 1 / R1 est la conductivité de la première branche, 1 / R2 est la conductivité de la deuxième branche.

Sur la base de cette formule, nous concluons: avec une connexion parallèle, la conductivité du circuit externe est égale à la somme des conductivités des branches individuelles.

Par conséquent, pour déterminer la résistance équivalente des résistances connectées en parallèle, il est nécessaire de déterminer la conductivité du circuit et de prendre la valeur opposée.

Il résulte également de la formule que la conductivité du circuit est supérieure à la conductivité de chaque branche, ce qui signifie que la résistance équivalente du circuit externe est inférieure à la plus petite des résistances connectées en parallèle.

Considérant le cas d'une connexion en parallèle de résistances, nous avons pris le circuit le plus simple, constitué de deux branches. Cependant, dans la pratique, il peut arriver qu'une chaîne se compose de trois branches parallèles ou plus. Que faire dans ces cas?

Il s’avère que toutes les relations que nous avons obtenues restent valables pour un circuit constitué d’un nombre quelconque de résistances connectées en parallèle.

Pour vérifier cela, considérons l'exemple suivant.

Nous prenons trois résistances R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm et R3 = 60 Ohm et les connectons en parallèle. Déterminez la résistance équivalente du circuit (Fig. 5).


Fig. 5. Une chaîne avec trois résistances connectées en parallèle

En appliquant la formule 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 pour cette chaîne, on peut écrire 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 et, en substituant les quantités connues, on obtient 1 / R = 1/10 + 1 / 20 + 1/60

Ajoutons cette fraction: 1 / R = 10/60 = 1/6, c’est-à-dire que la conductivité du circuit est 1 / R = 1/6 Par conséquent, la résistance équivalente est R = 6 Ohms.

Ainsi, la résistance équivalente est inférieure à la plus petite des résistances incluses en parallèle dans le circuit, c'est-à-dire inférieure à la résistance R1.

Voyons maintenant si cette résistance est vraiment équivalente, c'est-à-dire une résistance qui pourrait remplacer 10, 20 et 60 ohms connectés en parallèle, sans modifier l'intensité du courant jusqu'à la dérivation du circuit.

Supposons que la tension du circuit externe, et donc la tension aux résistances R1, R2, R3, soit de 12 V. L'intensité du courant dans les branches sera alors: I1 = U / R1 = 12/10 = 1, 2 A I 2 = U / R 2 = 12/20 = 1, 6 A I 3 = U / R1 = 12/60 = 0, 2 A

Nous obtenons le courant total dans le circuit en utilisant la formule I = I1 + I2 + I3 = 1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Nous vérifions par la formule de la loi d'Ohm si un courant d'une force de 2 A est obtenu dans le circuit si au lieu des trois résistances connectées en parallèle que nous connaissons, une résistance équivalente de 6 Ohms est activée.

I = U / R = 12/6 = 2 A

Comme vous pouvez le constater, la résistance que nous avons trouvée R = 6 Ohms est vraiment équivalente pour ce circuit.

Ceci est également visible sur les instruments de mesure: si nous assemblons un circuit avec les résistances que nous avons prises, mesurons le courant dans le circuit externe (avant la dérivation), remplaçons ensuite les résistances connectées en parallèle par une résistance de 6 Ohms et mesurons à nouveau le courant. Les lectures de l'ampèremètre dans les deux cas seront approximativement les mêmes.

En pratique, on peut également trouver des connexions parallèles pour lesquelles il est plus facile de calculer la résistance équivalente, c'est-à-dire sans déterminer d'abord les conductivités, trouver immédiatement la résistance.

Par exemple, si deux résistances R1 et R2 sont connectées en parallèle, la formule 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 peut être convertie comme suit: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 et, résolvant l'égalité par rapport à R, obtenez R = R1 x R2 / (R1 + R2), c'est-à-dire lorsque deux résistances sont connectées en parallèle, la résistance équivalente du circuit est égale au produit des résistances connectées en parallèle, divisé par leur somme.

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