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Logarithmes: exemples et solutions

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Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et convertis de toutes les manières. Mais comme les logarithmes ne sont pas des nombres tout à fait ordinaires, il existe des règles appelées propriétés de base.

Vous devez connaître ces règles - aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu sans elles. En outre, ils sont très peu nombreux - tout peut être appris en une journée. Alors commençons.

Addition et soustraction de logarithme

Considérons deux logarithmes de même base: log un x et connectez-vous un y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, de plus:

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence correspond au logarithme du quotient. S'il vous plaît noter: le point clé ici est motifs égaux. Si les motifs sont différents, ces règles ne fonctionnent pas!

Ces formules aideront à calculer l'expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas comptées (voir la leçon "Qu'est-ce que le logarithme"). Regardez les exemples et voyez:

Puisque les bases des logarithmes sont les mêmes, nous utilisons la formule de somme:
se connecter6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Les bases sont les mêmes, nous utilisons la formule de différence:
se connecter2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = journal2 16 = 4.

Défi. Trouver la valeur de l'expression: log3 135 - log3 5.

Encore une fois, les bases sont les mêmes, nous avons donc:
se connecter3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions d'origine sont constituées de «mauvais» logarithmes non comptabilisés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. Sur ce fait, de nombreux tests sont construits. Oui, le contrôle - de telles expressions très sérieuses (parfois - presque inchangées) sont proposées à l'examen.

Suppression de l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Que se passe-t-il s'il y a un degré dans la base ou l'argument du logarithme? Ensuite, un indicateur de ce degré peut être extrait du logarithme selon les règles suivantes:

  1. se connecter un x n = n un x

Il est facile de voir que la dernière règle suit leurs deux premières. Mais il vaut mieux ne pas l’oublier: dans certains cas, cela réduira considérablement la quantité de calculs.

Bien entendu, toutes ces règles ont un sens lorsque vous observez le logarithme ODZ: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Et aussi: apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi l’inverse, c.-à-d. vous pouvez entrer les nombres devant le logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent requis.

Défi. Trouver la valeur de l'expression: log7 49 6 .

Supprimons le degré dans l'argument par la première formule:
se connecter7 49 6 = 67 49 = 6 · 2 = 12

Défi. Trouvez la valeur de l'expression:

[Légende]

Notez que le dénominateur est le logarithme dont la base et l'argument sont des degrés exacts: 16 = 2 4, 49 = 7 2. Nous avons:

[Légende]

Je pense que le dernier exemple doit être clarifié. Où les logarithmes ont-ils disparu? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Ils y ont présenté la base et l'argumentation du logarithme sous forme de diplômes et ont réalisé des indicateurs - ils ont reçu une fraction de «trois étages».

Regardons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur ont le même numéro: log2 7. Depuis le journal2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - les 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, les quatre peuvent être transférés au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse: 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d’addition et de soustraction des logarithmes, j’ai particulièrement insisté sur le fait qu’ils ne fonctionnent que sur les mêmes bases. Mais que se passe-t-il si les motifs sont différents? Et si ce ne sont pas des puissances exactes du même nombre?

Des formules pour la transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Nous les formulons sous la forme d'un théorème:

Laisser le logarithme du journal un x. Alors pour tout nombre c tel que c> 0 et c ≠ 1, l'égalité

[Légende]

En particulier, si on met c = x, on obtient:

[Légende]

De la deuxième formule, il est possible d’échanger la base et l’argument du logarithme, mais en même temps l’expression entière est «retournée», c.-à-d. le logarithme est au dénominateur.

Ces formules sont rarement trouvées en termes numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur utilité uniquement lors de la résolution d'équations et d'inégalités logarithmiques.

Cependant, certaines tâches ne peuvent être résolues que par le passage à une nouvelle fondation. Considérez quelques-uns de ceux-ci:

Défi. Trouver la valeur de l'expression: log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des degrés exacts. Nous allons sortir des indicateurs: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2, connectez-vous2 25 = log2 5 2 = 2log2 5,

Et maintenant, "retournez" le deuxième logarithme:

[Légende]

Puisque le produit ne change pas par rapport à la permutation des facteurs, nous avons tranquillement multiplié les quatre et les deux, puis déterminé les logarithmes.

Défi. Trouver la valeur de l'expression: log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des degrés exacts. Nous écrivons ceci et nous débarrassons des indicateurs:

[Légende]

Nous allons maintenant nous débarrasser du logarithme décimal pour passer à une nouvelle base:

[Légende]

Identité logarithmique de base

Dans le processus de résolution, il est souvent nécessaire de représenter le nombre sous forme de logarithme pour une base donnée. Dans ce cas, les formules nous aideront:

  1. n = log un un n

Dans le premier cas, le nombre n devient un indicateur du degré dans l'argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, parce que c'est juste la valeur du logarithme.

La deuxième formule est en réalité une définition reformulée. Cela s'appelle:

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à un point tel que le nombre b de ce degré donne le nombre a? C'est vrai: c'est le nombre même a. Lisez attentivement ce paragraphe à nouveau - beaucoup sur "accrocher".

À l'instar des formules de transition vers une nouvelle fondation, l'identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Défi. Trouvez la valeur de l'expression:

[Légende]

Notez ce journal25 64 = log5 8 - vient de faire un carré à partir de la base et l'argument du logarithme. Étant donné les règles de multiplication des degrés avec la même base, on obtient:

[Légende]

Si quelqu'un n'est pas au courant, c'était un véritable défi de l'examen :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités que l’on peut difficilement appeler des propriétés - c’est plutôt des conséquences de la définition du logarithme. On les retrouve constamment dans les tâches et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants «avancés».

  1. se connecter un a = 1 est la suivante. Rappelez-vous une fois pour toutes: le logarithme de toute base a de cette base elle-même est égal à un.
  2. se connecter un 1 = 0 est la suivante. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument est un, le logarithme est égal à zéro! Parce que 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de les appliquer dans la pratique! Téléchargez la feuille de triche au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Définition en maths

Un logarithme est une expression de la forme suivante: logunb = c, c’est-à-dire que le logarithme de tout nombre non négatif (c’est-à-dire tout positif) "b" basé sur sa base "a" est le degré de "c" auquel la base "a" doit être élevée pour obtenir finalement la valeur "b". Analysons le logarithme avec des exemples, supposons qu’il existe un journal d’expression28. Comment trouver la réponse? Très simple, vous devez trouver un degré tel que de 2 au degré souhaité, vous obtenez 8. Après avoir effectué des calculs dans l’esprit, nous obtenons le nombre 3! Et c'est vrai, parce que 2 au degré 3 donne le chiffre 8 dans la réponse.

Variétés de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en réalité, les logarithmes ne sont pas si effrayants. L'essentiel est de comprendre leur sens général et de se rappeler leurs propriétés et certaines règles. Il existe trois types d'expressions logarithmiques distincts:

  1. Le logarithme népérien de ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
  2. Le logarithme décimal est log a, où la base est le nombre 10.
  3. Le logarithme de tout nombre b à la base a> 1.

Chacune d'entre elles est résolue de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un seul logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles, restrictions, qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qui ne sont pas sujettes à discussion et qui sont vraies. Par exemple, il est impossible de diviser les nombres par zéro et il est encore impossible d'extraire la racine d'un degré pair de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, selon lesquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses:

  • la base "a" doit toujours être supérieure à zéro et, dans le même temps, ne pas être égale à 1, sinon l'expression perdra sa signification, car "1" et "0" sont toujours égaux à leurs valeurs,
  • si a> 0, alors a b> 0, il s'avère que "c" doit être supérieur à zéro.

Comment résoudre les logarithmes?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l’équation 10 x = 100. C’est très facile, vous devez choisir un tel degré, en augmentant le nombre dix, nous obtenons 100. C’est bien sûr un degré quadratique! 10 2 = 100.

Maintenant, imaginons cette expression comme un logarithme. Nous obtenons le journal10100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent presque pour trouver le degré auquel vous devez entrer la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau de diplômes. Cela ressemble à ceci:

Comme vous pouvez le constater, certains indicateurs de degré peuvent être devinés intuitivement s’il existe une mentalité technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour les grandes valeurs, une table de degrés est requise. Même ceux qui ne comprennent rien du tout dans des sujets mathématiques complexes peuvent l'utiliser. La colonne de gauche indique les nombres (base a), la rangée supérieure de nombres correspond à la valeur du degré c à laquelle le nombre a est élevé. À l'intersection, les valeurs des nombres qui constituent la réponse (a c = b) sont définies dans les cellules. Prenons, par exemple, la toute première cellule avec le nombre 10 et son carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même les vrais humanités comprendront!

Equations et Inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d’une égalité logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit sous la forme du logarithme de 81 en base 3, soit quatre (log381 = 4). Pour les degrés négatifs, les règles sont les mêmes: 2 -5 = 1/32 nous écrivons sous forme de logarithme, nous obtenons log2 (1/32) = -5. Une des sections les plus fascinantes des mathématiques est le thème des "logarithmes". Nous examinerons des exemples et des solutions d’équations juste en dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

Une expression est donnée comme suit: log2(x-1)> 3 - il s'agit d'une inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue de "x" est sous le signe du logarithme. Et aussi dans l'expression, deux quantités sont comparées: le logarithme du nombre souhaité sur la base de deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec logarithmes (un exemple est le logarithme).2x = √9) implique une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que la résolution de l'inégalité détermine à la fois la région des valeurs admissibles et les points de rupture de cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels comme dans la réponse de l’équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de logarithme de base

Lors de la résolution de tâches primitives lors de la recherche des valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de comprendre clairement et de mettre en pratique toutes les propriétés fondamentales des logarithmes. Nous verrons plus tard des exemples d’équations. Analysons d’abord chaque propriété plus en détail.

  1. L'identité de base ressemble à ceci: logaB = B. Il ne s'applique que lorsque a est supérieur à 0, et non égal à un, et que B est supérieur à zéro.
  2. Le logarithme du produit peut être représenté dans la formule suivante: logd(s1* s2) = se connecterds1 + logds2. Dans ce cas, une condition préalable est: d, s1 et s2 > 0 et ≠ 1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule de logarithmes, avec des exemples et une solution. Laisser journaluns1 = f1 et connectez-vousuns2 = f2alors un f1 = s1, un f2 = s2. Nous obtenons que s1* s2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (propriétés des degrés), puis par définition: logun(s1* s2) = f1+ f2 = loguns1 + loguns2, comme nécessaire pour prouver.
  3. Le logarithme d'un privé ressemble à ceci: logun(s1/s2) = loguns1- connecteruns2.
  4. Un théorème sous la forme d'une formule prend la forme suivante: logun q b n = n / q logunb.

Cette formule s'appelle la "propriété du degré du logarithme". Cela ressemble aux propriétés des degrés ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques reposent sur des postulats réguliers. Regardons la preuve.

Laisser journalunb = t, il s'avère a t = b. Si les deux parties sont élevées à la puissance m: a tn = b n,

mais puisque a tn = (a q) nt / q = b n, donc, logun q b n = (n * t) / t, puis enregistrezun q b n = n / q logunb. Le théorème est prouvé.

Exemples de problèmes et d'inégalités

Les types de problèmes les plus courants en matière de logarithmes sont des exemples d'équations et d'inégalités. Ils se trouvent dans presque tous les livres de problèmes et sont également inclus dans la partie requise des examens de mathématiques. Pour entrer à l'université ou passer des examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces problèmes.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ni de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme. Cependant, certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d'abord, vous devez savoir s'il est possible de simplifier l'expression ou de générer une vue générale. Les expressions logarithmiques longues peuvent être simplifiées si leurs propriétés sont utilisées correctement. Apprenons à les connaître bientôt.

Lors de la résolution des équations logarithmiques, il est nécessaire de déterminer quel type de logarithme est devant nous: un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou un nombre décimal.

Voici des exemples de logarithmes décimaux: ln100, ln1026. Leur solution est réduite au fait qu'il est nécessaire de déterminer le degré auquel la base 10 sera égale à 100 et 1026, respectivement. Pour les solutions de logarithmes naturels, il faut appliquer les identités logarithmiques ou leurs propriétés. Regardons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques: avec exemples et solutions

Alors, regardons des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

  1. La propriété du logarithme du produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de décomposer la valeur élevée du nombre b en facteurs plus simples. Par exemple, connectez-vous24 + log2128 = log2(4 * 128) = log2512. La réponse est 9.
  2. se connecter48 = log2 2 2 3 = 3/2 log22 = 1,5 - comme vous pouvez le constater, en utilisant la quatrième propriété du degré du logarithme, il était possible de résoudre à première vue une expression complexe et insoluble. Il suffit de factoriser la base, puis de déduire le degré du signe du logarithme.

Tâches de l'examen

Les logarithmes se retrouvent souvent dans les examens d'entrée, en particulier de nombreux problèmes logarithmiques à l'examen (examen d'état pour tous les diplômés de l'école). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la partie la plus facile de l’examen), mais également dans la partie C (tâches les plus difficiles et les plus volumineuses). L'examen implique une connaissance précise et parfaite du sujet "Logarithmes Naturels".

Des exemples et des solutions aux problèmes sont extraits des examens officiels. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Journal donné2(2x-1) = 4. Solution:
réécrivez l'expression en simplifiant un peu le journal2(2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme, nous obtenons que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17, x = 8,5.

Vous trouverez ci-dessous quelques recommandations, à la suite desquelles vous pouvez facilement résoudre toutes les équations contenant des expressions placées sous le signe du logarithme.

  • Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
  • L'expression entière sous le signe du logarithme est indiquée comme positive; par conséquent, lorsque le facteur constitue l'exposant de l'expression, qui se trouve sous le logarithme et comme base, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

Regarde la vidéo: LOGARITHME - Equations et inéquations (Décembre 2019).